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  Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

                            f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Sea la función y = a^x, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos:

Luego:

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función e^x es
                                    (e^x )' = e^x · ln e = e^x · 1 = e^x

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.
Derivada de una funcion de un producto de un conciente
Es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada.
La función a derivar, f(x), puede escribirse como

y h(x) ≠ 0, entonces la regla afirma que la derivada de g(x) / h(x) es igual a:

O de forma más precisa, para toda x que pertenece a algún conjunto abierto que contiene al número a, con h(a) ≠ 0; y, tal que existen g'(a) y h'(a); entonces, f'(a) también existe: