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EJEMPLO


De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

Relacionamos las variables:
2x + 2y = 12
x = 6 − y
Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.


Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.



Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.


La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

OPTIMIZACION 1

El objetivo es optimizar funciones de una sola variable, con la toolbox de Optimización
De MATLAB con el siguiente formato:
[X, fval, flag, output] = fminbnd (‘funcion’, x1, x2).
Donde ‘función’ = es la función a optimizar entre comillas y x1 y x2 definen el
Intervalo de búsqueda del mínimo.
La función también puede ser una función inline: f = inline ('función a optimizar');
O se puede crear una función de Matlab en un fichero *.m de la forma:
Function f = afun(x)
f = función a optimizar;
y la llamada a la función a optimizar en este caso será:
[X, fval, flag, output] = fminbnd (‘afun’, x1, x2).
La función fminbnd devuelve el punto óptimo de la función (x), el valor de la función en
Ese punto (feval), un flag para decirnos si la optimización ha ido bien (flag=1) o si ha
Ido mal (flag=0), y en output me devuelve el algoritmo de optimización utilizado, y el
Número de iteraciones realizadas para alcanzar el óptimo.
Minimizar las funciones: y(x) = 4x3 + 2x2 - 6x –1 en el intervalo [0,20]
y(x) =(sen(x) + sen(x/5)) * e x /10 en los intervalos: [0, 40] y
[20,40].

Ejemplos
sobre optimización de funciones En la resolución de problemas de optimización de funciones seguiremos los siguientes pasos: 1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar. 2. Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en caso de que haya más de una variable. 3. Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función, de modo que nos quedé una sola variable. 4. Derivar la función e igualarla a cero, para hallar los extremos locales. 5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido. Ejemplo 1 Recortando convenientemente en cada esquina una lámina de cartón de dimensiones 80 cm. x 50 cm. un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo.

PUNTOS CRITICOS MAXIMOS Y MINIMOS
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto critico mínimo relativo, o simplemente mínimo.
Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.
Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos.

PUNTOS CRITICOS INFLEXION
Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.
Proposición.
Sea f dos veces derivable en a.
Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

tambien Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con ac en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.


CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA
Uno de los órdenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función.

El criterio de la segunda derivada, para determinar máximos y mínimo, resulta ser un criterio mas fácil de aplicar que el criterio de la primera, aunque el análisis del método no es tan simple como el de la primera derivada. Se recomienda revisar los problemas resueltos en la sección de aplicaciones de las derivadas. (13.7 MB)


Criterio de la segunda derivada

Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función.

Derivación Implícita

Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que si no se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

DERIVACION EN CADENA

Lo diremos de una vez, si f (x) es una función que admite derivada entonces su derivada f ' (x) también se denota por

y esta notación proviene del siguiente hecho, para un Dx muy pequeño sabemos que

De manera que df está asociado al valor de Df = f (x + Dx) - f (x) para un Dx pequeñísimo.
El siguiente teorema es usado con frecuencia y nos abre un amplio espectro para el cálculo de derivadas de funciones más complejas. Suponga que tenemos la siguiente función

Observemos que g(x) es la composición de dos funciones, a saber de la función "raíz cuadrada", esto es de y de la función x2 + 1. El paso de transformación es como sigue

Lo interesante es que conocemos "aisladamente" la derivada de ambas funciones. En efecto.

  Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

                            f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Sea la función y = a^x, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos:

Luego:

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función e^x es
                                    (e^x )' = e^x · ln e = e^x · 1 = e^x

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.
Derivada de una funcion de un producto de un conciente
Es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada.
La función a derivar, f(x), puede escribirse como

y h(x) ≠ 0, entonces la regla afirma que la derivada de g(x) / h(x) es igual a:

O de forma más precisa, para toda x que pertenece a algún conjunto abierto que contiene al número a, con h(a) ≠ 0; y, tal que existen g'(a) y h'(a); entonces, f'(a) también existe:

GRADO:        ONCE PERIODO:    PRIMERO

INTENSIDAD HORARIA :   3 horas semanales DOCENTE:                           GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA: ¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

Desigualdades e Inecuaciones. Axiomas de orden en R. Intervalos. Propiedades de las desigualdades Problemas. VALOR ABSOLUTO. Definición. Propiedades. Ejercicios FUNCIONES. Definición. Funciones básicas Dominio, Rango Problemas de la vida.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Resolver inecuaciones por  el método del cementerio Y el método analítico. Resolver ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos. Aplicar la definición de función a diferentes relaciones. Resolver problemas que involucran funciones.

Resuelve inecuaciones por  el método del cementerio Y el método analítico. Resuelve ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos. Aplica la definición de función a diferentes Resuelve problemas que involucran funciones.

1. La solución de inecuaciones por  el método del cementerio Y el método analítico. 2. La solución de   ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos. 3.  La aplicación de  la definición de función a diferentes relaciones 4. La solución a problemas que involucran funciones. El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

GRADO:        ONCE PERIODO:     SEGUNDO

INTENSIDAD HORARIA :    3 horas semanales DOCENTE:                            GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

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INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

Transformación de funciones. Desplazamientos Verticales. Desplazamiento horizontal. Reflexión. Estiramiento y acortamiento vertical. Acortamiento y alargamiento horizontal. Función par e impar. Dominio, Rango. Interceptos. Función uno a uno Y sobre. Función Inyectiva. Función Inversa.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Graficar funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión. Determinar el Dominio, el Rango y los intersectos de una función. Identificar, clasificar una función en par o impar. Identificar si una función tiene inversa y calcularla.

Grafica funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión. Determina el Dominio, el Rango y los intersectos de una función. Identifica, clasifica una función en par o impar. Identifica si una función tiene inversa y la calcula

1. La gráfica de una función usando funciones básicas, desplazamientos verticales y horizontales. 2. La gráfica de una función usando funciones básicas, alargamientos y reflexiones verticales y horizontales 3. El cálculo del Dominio, Rango, Interceptos. 4. La determinación si la gráfica de una FUNCIÓN es inyectiva y, si por lo tanto tiene Inversa. . El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.

GRADO:        ONCE PERIODO:     TERCERO

INTENSIDAD HORARIA :    3 horas semanales DOCENTE:                            GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

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ACCIONES EVALUATIVAS

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LIMITES. Definición, ejemplos, ejercicios Continuidad, Teorema del valor intermedio. DERIVADA. Recta tangente y normal a una curva. Velocidad instantánea. Definición de Derivada. Reglas de derivación. Regla de la cadena Derivada implícita.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Calcular límites cuando la variable tiende a un valor finito. Eliminar indeterminaciones de la forma 0/0. Determinar la continuidad de una función. Calcular la derivada de funciones.

Calcula límites cuando la variable tiende a un valor finito. Elimina indeterminaciones de la forma 0/0. Determina la continuidad de una función. Calcula la derivada de funciones.

1. El cálculo de límites cuando la variable tiende a un valor finito. 2. La eliminación de indeterminaciones de la forma 0/0. 3. La determinación de la continuidad o no de una función. 4. El calcular la derivada de una función real. . El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.

GRADO:        ONCE PERIODO:     CUARTO

INTENSIDAD HORARIA :    3 horas semanales DOCENTE:                            GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

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APLICACIONES DE LA DERIVADA. Máximos y mínimos relativos y absolutos. Números críticos. Teorema del valor medio y el valor extremo. Criterios de la primera y segunda derivada Concavidad. Problemas de OPTIMIZACIÖN.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Hallar máximos y mínimos relativos y absolutos de una función. Obtener valores críticos de una función. Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento. Determinar concavidad. Resolver problemas de Optimización

Halla máximos y mínimos relativos y absolutos de una función. Obtiene valores críticos de una función. Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento. Determina concavidad. Resuelve problemas de Optimización

1. Los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función. 2. Los valores críticos de una función. 3. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La Determinación de la concavidad. 4. La solución de problemas de Optimización El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

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