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Derivación Implícita

Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que si no se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.